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आपेक्षिकता से पूर्व की भौतिकी

$\Delta x_{\nu }'=\sum \limits _{\alpha }{\frac {\delta x_{\nu }'}{\delta x_{\alpha }}}\Delta x_{\alpha }+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{\alpha \beta }{\frac {\delta ^{2}x_{\nu }'}{\delta x_{\alpha }\delta x_{\beta }}}\Delta x_{\alpha }\Delta x_{\beta }$

यदि हम उपरोक्त समीकरण में (2अ) से मान रखें और बाद में समीकरण (1) से तुलना करने पर हम देखते हैं कि $x_{\nu }'$, $x_{\nu }$ का एकघातीय फलन होना चाहिए। अतः

$x_{\nu }'=a_{\nu }+\sum \limits _{\alpha }b_{\nu \alpha }x_{\alpha }$

(3)

या$~\Delta x_{\nu }'=\sum \limits _{\alpha }b_{\nu \alpha }\Delta x_{\alpha }$

(3अ)

रखते हैं तब समीकरण (2) और (2अ) की तुल्यता को इस तरह लिखा जा सकता है

$\sum \Delta x_{\nu }'^{2}=\lambda \sum \Delta x_{\nu }^{2}$ ($\lambda$ का मान $\Delta x_{\nu }$ से स्वतंत्र है)

(2आ)

अतः यह इसका अनुसरण करता है कि $\lambda$ नियतांक होना चाहिए। यदि हम समीकरण (2आ) और (3अ) में $\lambda =1$ रखते हैं तब

$\sum \limits _{\nu }b_{\nu \alpha }b_{\nu \beta }=\delta _{\alpha \beta }$

(4)

प्राप्त करते हैं जहाँ $\alpha =\beta$ के लिए $\delta _{\alpha \beta }=1$, अथवा $\alpha \not =\beta$ के लिए $\delta _{\alpha \beta }=0$ हो। समीकरण (4) की शर्तों को लाम्बिकता की शर्त कहते हैं और रूपांतरण (3) और (4) एकघातीय लाम्बिक रूपांतरण हैं। यदि हम प्रत्येक निर्देश तंत्र में लम्बाई के वर्ग को $s^{2}=\sum \Delta x_{\nu }^{2}$ के बराबर लिखते हैं और यदि हम हमेशा समान इकाई पैमाने से मापन करते हैं तब $\lambda$ का मान 1 होना चाहिए। अतएव रैखीय लाम्बिक रुपांतरण केवल वो होंगे जिनमें दिक्काश में एक कार्तीय निर्देश तंत्र से दूसरे में समान रूप से जाया जा सकता है। हम देखते हैं